第二課時 空間中直線與直線之間的位置關係（xì）

教學過程

教學內容（róng）

師生（shēng）互動

設計意圖

新課導入

問題（tí）：在同（tóng）一平麵內，兩條直線（xiàn）有幾種位置關係？空間的兩條直線還有沒有其他位（wèi）置關係？

師（shī）投影問題，學生討論回答

生₁：在同一平麵內，兩條直線的（de）位置關係有（yǒu）：平行與相交.

生₂：空間的（de）兩條直線除平行與相交外還有其他位置關係，如教室裏的電燈線與牆角線……

師（肯定）：這種位置關係我們把它稱為異麵直線（xiàn），這節課我們要討（tǎo）論的是空間中（zhōng）直線與直線的位置關係.

以舊導新培養（yǎng）學生知（zhī）識的係統性和（hé）學生學習的積極性.

探索新知

1．空間的兩條直線位置關係：

共（gòng）麵直線

異麵直線：不（bú）同在任何一個平麵（miàn）內，沒有公共點.

師（shī）：根據剛才的分析，空（kōng）間的兩條直線的位置關係有以下三種：①相交直線—有且僅有一個公（gōng）共點

②平（píng）行直線—在同一平麵內，沒有公共點.

③異麵直（zhí）線—不同在任何一個平麵內，沒有公共點.

隨堂練（liàn）習：

如圖所示P50-16是（shì）一個正方體的展開圖，如果將它還（hái）原為正方體，那麽（me）AB，CD，EF，GH這四條線段所在直線是異麵直線的有        對.

答案：4對，分別是HG與EF，AB與CD，AB與EF，AB與HG.

現在（zài）大家思考一下這三種（zhǒng）位置關係可不（bú）可以進行分類

生：按兩（liǎng）條直（zhí）線是否（fǒu）共麵可以將三種位置關係分成（chéng）兩（liǎng）類：一類是平行直線和相交直線，它們是共麵直線（xiàn）.一類是異麵直線，它們不同在任何一個平麵內.

師（肯（kěn）定）所（suǒ）以異麵直線（xiàn）的（de）特征可說成“既不平行，也不相交”那麽“不（bú）同在任何一（yī）個平麵內”是否可改為“不在一個平麵內呢”

學生討論發現不能去掉（diào）“任何”

師：“不同在任何一個平麵內”可以（yǐ）理解為“不存在一個（gè）平麵，使兩異麵直線在該平（píng）麵內（nèi）”

培養學生分類的（de）能（néng）力（lì），加（jiā）深學生對空間的一（yī）條直線位置關（guān）係的理解

（1）公理4，平行於同一條直線的兩條直線互相平行

（2）定（dìng）理：空間中如果兩個角的（de）兩邊分別對應平行，那麽這兩個角相等或互補

例（lì）2 如圖所示，空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點.求證（zhèng）：四邊形EFGH是平行四邊形.

證（zhèng）明：連接BD，

因為EH是△ABD的中位線，

所以（yǐ）EH∥BD，且.

同（tóng）理FG∥BD，且.

因為EH∥FG，且EH = FG，

所以 四邊形EFGH為平行四邊形.

師：現在請大家看一看我們的教室，找（zhǎo）一下有無不在同一（yī）平麵內的三條直線兩兩平行的.

師：我們把（bǎ）上述規律作（zuò）為本章的第（dì）4個公理.

公理4：平行於同一條直線（xiàn）的兩條直線互相平行.

師：現在請大家思考公理4是否可以推廣，它（tā）有什麽作用.

生（shēng）：推廣空間平（píng）行於一條直（zhí）線的所有直（zhí）線都互（hù）相平行.它可（kě）以用來證明兩條（tiáo）直線平行.

師（肯定（dìng））下麵我（wǒ）們（men）來看（kàn）一個（gè）例（lì）子

觀察圖，在長（zhǎng）方體ABCD – A′B′C′D′中，∠ADC與（yǔ）∠A′D′C′，∠ADC 與∠A′B′C′的兩邊分別對應平行，這（zhè）兩組（zǔ）角的大小關係（xì）如何？

生：從圖中（zhōng）可以看出（chū），

∠ADC = ∠A′D′C′，

∠ADC + ∠A′B′C′=180°

師：一般地，有以下（xià）定理：……這個定理可以用公理4證明，是公理（lǐ）4的一個推廣，我們把它稱為等（děng）角定理.

師打出投影片讓學生嚐試作圖，在（zài）作圖的基礎上猜想平行的直線並試圖（tú）證明.

師：在圖中EH、FG有怎樣的特點？它們有直接的聯係嗎？引（yǐn）導學生找出證（zhèng）明思路.

培養（yǎng）學生（shēng）觀察能力語言表達能力和探（tàn）索創新的意識（shí）.

通過分析和引導，培養學生解題能力.

探索新知（zhī）

3．異麵直線所成的角

（1）異（yì）麵直（zhí）線所（suǒ）成角的概念.

已知兩條異麵直線a、b，經過空間任一點O作（zuò）直線a′∥a，b′∥b，我們把a′與b′所成的銳（ruì）角(或直角（jiǎo）)叫做異麵直（zhí）線a與b所成的角(或夾角).

（2）異麵直線互相（xiàng）垂直（zhí）

如（rú）果兩條異麵（miàn）直線所成（chéng）的角是直角，那麽（me）我們就說（shuō）這兩條直線互相垂直.兩條互相垂直的異麵（miàn）直線a、b，記作a⊥b.

例3 如圖，已知正方體ABCD – A′B′C′D′.

（1）哪些棱（léng）所在直線與（yǔ）直線（xiàn）BA′是異麵直線？

（2）直線BA′和CC′的夾角是多少？

（3）哪此棱所在（zài）的直線與（yǔ）直線AA′垂直？

解：（1）由異（yì）麵直線的定義可知，棱（léng）AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直線分別與直線BA′是異麵直線.

（2）由BB′∥CC′可知，∠B′BA′為異麵直線B′A與（yǔ）CC′的（de）夾角，∠B′BA′= 45°.

（3）直線AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分別與直線AA′垂直.

師講述異麵直線所成的（de）角的定義，然後學生共同對（duì）定義進行分析，得出如（rú）下結論.

①兩條異麵直線所成角（jiǎo）的大小，是由這兩條（tiáo）異麵直線的（de）相（xiàng）互（hù）位置決定的，與點O的位置選取無關；

②兩條異（yì）麵直線所（suǒ）成（chéng）的角

；

③因為點O可以任（rèn）意選（xuǎn）取，這就給我們找出兩條（tiáo）異（yì）麵直線所（suǒ）成的角（jiǎo）帶來了方便（biàn），具體運用時，為了簡便，我們可以把點O選在兩條異麵直（zhí）線的某（mǒu）一條上；

④找出兩條異（yì）麵直線所成的角，要作平（píng）行移動（作平行線），把兩條異麵直線所成的角轉（zhuǎn）化為兩條相交直線所成的角；

⑤當兩條異麵直線所（suǒ）成（chéng）的（de）角是直線時，我們就說（shuō）這兩條異麵直線互相垂直，異麵直線a和b互相垂直，也記作a⊥b；

⑥以後我（wǒ）們說（shuō）兩條直線（xiàn）互相垂直，這兩條直線可能是（shì）相交的，也可能是不（bú）相交的，即有共麵垂直，也有異麵垂直這樣兩種情（qíng）形.

然後師生共同分析例題

加深對平麵直（zhí）線所成角的理解，培養空間想象（xiàng）能圖力和轉化化歸以能（néng）力.

隨堂（táng）練習（xí）

1．填空（kōng）題：

（1）如圖，AA′是長（zhǎng）方體的一條棱，長方體中與AA′平行的棱共有      條（tiáo）.

（2）如果（guǒ）OA∥O′A′，OB∥O′B′，那麽∠AOB和∠A′O′B′         .

答案（àn）：（1）3條（tiáo）. 分別是BB′，CC′，DD′；（2）相等或互補.

2．如圖，已知長方體ABCD – A′B′C′D′中，AB =，AD =，AA′ =2.

（1）BC和A′C′所成的角是多少度（dù）？

（2）AA′ 和BC′ 所成的角是多少度？

學生獨立完成（chéng）

答案：.

2．（1）因為（wéi）BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是異麵直線A′C′與BC所成的角. 在Rt△A′B′C′中，A′B′=，B′C′=，所以（yǐ）∠B′C′A′ = 45°.

（2）因為AA′∥BB′，所（suǒ）以∠B′BC′是異（yì）麵直（zhí）線AA′ 和BB′ 所成的角.

在Rt△BB′C′中，B′C′ = AD =，BB′= AA′=2，

所以BC′= 4，∠B′BC′= 60°.

因此（cǐ），異麵直線AA′與BC′所成的角為60°.

歸納總結

1．空間中（zhōng）兩條直線的位置關（guān）係.

2．平行公（gōng）理及等角定（dìng）理.

3．異麵直線所成的角（jiǎo）.

學生歸納，教師（shī）點評並完善

培養學生歸納總結能力，加深學生對知識（shí）的掌握，完善學生知識結構.

作業

2.1 第二（èr）課時 習案

學生獨立完成

固化知識

提升（shēng）能力