第二（èr）課時 空間中直線與直線之間（jiān）的位置關係（xì）

教學過程（chéng）

教學內容

師生互動

設計意圖

新課導入

問題：在同一平麵（miàn）內，兩條直線（xiàn）有幾種位（wèi）置關係？空間的兩條（tiáo）直線（xiàn）還有沒有其（qí）他位置（zhì）關係？

師投影（yǐng）問（wèn）題，學生討論回答

生₁：在同一平麵內，兩條直線的（de）位置關係有（yǒu）：平行與相交.

生₂：空間的兩條直線除平行與相交外還有其他位置關係，如教室裏的電燈線與（yǔ）牆角線……

師（肯定）：這種位置（zhì）關係（xì）我們把（bǎ）它稱為異麵直線（xiàn），這節課我們要討論的是（shì）空間中直線（xiàn）與直線的位置關係.

以舊導新培養學生知識的（de）係統性和學生學（xué）習的積（jī）極性.

探索新知

1．空間的兩條直線位置關係：

共麵（miàn）直線

異（yì）麵直線：不同在任何一個平麵內，沒有（yǒu）公（gōng）共點.

師：根據剛才的分析（xī），空間的兩條直（zhí）線的位置關係（xì）有以下三種：①相（xiàng）交直線—有且僅有一個公（gōng）共點

②平行直線—在同一平麵內，沒有公共點.

③異麵直線—不同在任何一個平麵內（nèi），沒有公共點.

隨堂練習：

如圖所示P50-16是一個（gè）正方體的展（zhǎn）開圖，如果將它還原為正方體，那麽（me）AB，CD，EF，GH這四條線段所在直（zhí）線是（shì）異麵（miàn）直線的有        對（duì）.

答案（àn）：4對，分（fèn）別是HG與EF，AB與CD，AB與EF，AB與HG.

現在大家（jiā）思考一下這三種位置（zhì）關（guān）係可不可以進行分類

生：按兩條直（zhí）線是否共麵可以將三種位置關（guān）係分成兩類：一類（lèi）是平（píng）行直線和相交直線，它們是共麵直線.一類是異麵直線，它們不同在任何一個平麵內.

師（肯定）所以異麵直線的特征可說成“既不平行，也不相（xiàng）交”那麽“不同在（zài）任何一個平麵內”是否可改（gǎi）為“不在一個平麵內呢”

學（xué）生討論發現（xiàn）不能去掉“任何”

師：“不同在任何一個平麵內”可以（yǐ）理解為“不存在一個平麵，使兩異（yì）麵直線在該平麵內”

培養學生（shēng）分類的能力，加深學生（shēng）對空（kōng）間的一條直（zhí）線位（wèi）置關係的理（lǐ）解

（1）公理4，平行於同一條直線的兩條直線互（hù）相平行

（2）定理（lǐ）：空間中如果兩個角的兩邊（biān）分別對應平（píng）行，那麽這兩個角相等或互（hù）補

例2 如圖所示，空間四邊（biān）形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點.求證：四邊形EFGH是平行（háng）四（sì）邊（biān）形.

證明：連接BD，

因為EH是△ABD的中位線，

所以EH∥BD，且.

同理（lǐ）FG∥BD，且.

因為EH∥FG，且EH = FG，

所以 四邊形EFGH為（wéi）平行四邊形（xíng）.

師：現在（zài）請大家看一看我們的教室，找一下有無不在同一平（píng）麵內的（de）三條直線兩兩平行的.

師：我們把上述（shù）規律作為本章的第4個公（gōng）理.

公理4：平行於（yú）同一條直線的兩條直線互相平（píng）行.

師：現（xiàn）在請（qǐng）大家思考公理4是否可以推廣，它有什麽作用.

生：推廣空間（jiān）平行於一條直線的所有直線都互相平行.它可以用來證明兩（liǎng）條直線平行.

師（肯定）下（xià）麵我們來看（kàn）一個例子

觀察圖，在長方體ABCD – A′B′C′D′中，∠ADC與∠A′D′C′，∠ADC 與∠A′B′C′的兩邊分別對應平行，這兩組角的大（dà）小關（guān）係如何？

生：從圖中可以看出，

∠ADC = ∠A′D′C′，

∠ADC + ∠A′B′C′=180°

師：一般地，有以下定理：……這個定理可以用公理4證明，是公理4的（de）一個推廣（guǎng），我們把它稱為等角定理.

師打出投（tóu）影片讓學生嚐試作圖，在作圖的基礎上猜想平行的直線並試圖證明.

師：在圖中EH、FG有怎樣（yàng）的特點？它們有直接的聯係嗎？引導學生找出證明思路.

培養學生（shēng）觀察能力語言表達能力和探索創新的意識.

通過分析和引（yǐn）導，培養學生解題能力.

探索新知

3．異（yì）麵直線所成的角

（1）異麵直線（xiàn）所成角的概念.

已知（zhī）兩條異（yì）麵直線a、b，經過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，我們把a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異麵直（zhí）線a與b所成的角(或夾角).

（2）異麵直線互（hù）相垂直

如果兩條（tiáo）異麵直線所成（chéng）的角是直角，那麽我們就說這兩條直線互相（xiàng）垂直.兩條互（hù）相垂直的異麵直（zhí）線（xiàn）a、b，記作a⊥b.

例3 如圖，已知正方體ABCD – A′B′C′D′.

（1）哪（nǎ）些（xiē）棱（léng）所（suǒ）在直線與直線BA′是（shì）異麵直（zhí）線？

（2）直線BA′和CC′的夾角是多少？

（3）哪此棱所在的直線與直線AA′垂直（zhí）？

解：（1）由（yóu）異麵直線的定義可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直（zhí）線分別與直線（xiàn）BA′是異麵直線.

（2）由BB′∥CC′可知，∠B′BA′為異麵直線B′A與（yǔ）CC′的夾角，∠B′BA′= 45°.

（3）直線AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分別與直線AA′垂直.

師（shī）講述異（yì）麵直線所成（chéng）的角的定義（yì），然後學生共同對定義進行分析，得出如下結論.

①兩條異麵（miàn）直線所成角的大小，是由這兩條異麵（miàn）直線的相互（hù）位置決定的（de），與點O的位置（zhì）選取無關；

②兩（liǎng）條異麵直線所成的（de）角

；

③因為點O可以任意選取，這就給我們找出兩（liǎng）條異麵直（zhí）線所成的角帶來了方便，具體（tǐ）運用時，為了（le）簡便，我們可以把點O選在兩條異麵直線的某一條上；

④找出兩條異麵直線所（suǒ）成的角，要作平行移動（作（zuò）平行線），把兩條異麵直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角；

⑤當兩條異麵直線（xiàn）所成的角是直線時，我們就說這兩條異麵直線互相垂直，異麵直線（xiàn）a和b互（hù）相垂直，也記作a⊥b；

⑥以後我們說兩條直線互相垂直，這兩條直線可能是相交的，也可能是不相交的，即有共麵垂直，也有異（yì）麵垂直這（zhè）樣兩種情形.

然後師生（shēng）共（gòng）同分析例題

加深（shēn）對平麵直線所成角的理解，培養空（kōng）間想象能（néng）圖力和（hé）轉（zhuǎn）化化歸以能力.

隨堂練（liàn）習

1．填空題：

（1）如（rú）圖，AA′是長方體的（de）一條棱，長方體（tǐ）中與（yǔ）AA′平行的棱共有      條.

（2）如果OA∥O′A′，OB∥O′B′，那麽∠AOB和∠A′O′B′         .

答案（àn）：（1）3條. 分別是BB′，CC′，DD′；（2）相（xiàng）等（děng）或互補.

2．如圖，已知長方體ABCD – A′B′C′D′中，AB =，AD =，AA′ =2.

（1）BC和A′C′所成的角（jiǎo）是多少度？

（2）AA′ 和（hé）BC′ 所成的角是多少度？

學生獨（dú）立完成（chéng）

答（dá）案：.

2．（1）因為BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是異麵（miàn）直線A′C′與BC所成（chéng）的角. 在Rt△A′B′C′中，A′B′=，B′C′=，所以∠B′C′A′ = 45°.

（2）因為AA′∥BB′，所以∠B′BC′是異麵直線AA′ 和BB′ 所成的角.

在Rt△BB′C′中，B′C′ = AD =，BB′= AA′=2，

所以BC′= 4，∠B′BC′= 60°.

因此，異麵直線AA′與BC′所成的角為（wéi）60°.

歸納總結（jié）

1．空間（jiān）中（zhōng）兩條直線的位置關係.

2．平行公理及等（děng）角定理.

3．異麵直線所成的（de）角.

學生歸納，教師點評並完善

培（péi）養學（xué）生歸（guī）納總結能力，加深學生對知識的掌（zhǎng）握，完善學（xué）生知識結構.

作業

2.1 第二課時 習案

學生獨立完成

固化知識

提升（shēng）能力